La resbaladera de Bernoulli


Mis dos caramelitos tienen personalidades muy distintas, pero me encanta ver que, aunque peleen a veces, son buenos hermanos. Se quieren y se cuidan entre sí. A mis dos hijos les encanta salir al parque y jugar con el columpio, al sube-y-baja y por supuesto a la resbaladera – su juego favorito.  ¿Qué hace atractiva a la resbaladera? Por supuesto la velocidad que toman los niños al soltarse de la parte superior para entregarse en manos de la ley de atracción gravitatoria – la misma del manzanaso en la cabeza de Sir Newton.

¿Se ha fijado en la forma de una resbaladera? No describe una línea recta entre el punto más alto – donde el niño se suelta – y el punto más bajo – donde el padre feliz recibe al bólido mientras la madre desde cerca advierte una y otra vez que tengan cuidado…

Es la forma de la resbaladera lo que inadvertidamente genera fascinación en los niños. Dicha forma no es una casualidad. Es, de hecho, la solución a un famoso problema de la Matemática, que a su vez dió inicio al Cálculo Variacional – indispensable hoy en muchísimos desarrollos tecnológicos.

Galileo había conjeturado en 1638 que la solución debería ser un arco de círculo. Pera esta curva no soluciona el problema de la Braquistócrona (el término proviene del Griego  (brakhistos) “el menor” y  (khronos) “tiempo”). Este fue planteado oficialmente por Johann Bernoulli en Acta Eruditorum en Junio de 1696 como un “reto a los matemáticos más brillantes del mundo“.  El problema consiste en:

Dados dos puntos A y B en un plano vertical, ¿cúal es la curva que descrita por una partícula afecta solo a la gravedad, recorre desde A hasta B en el menor tiempo?

¿Cuál sería la peor estrategia a seguir? No sin sorpresa, es una estrategia extremista: partir verticalmente hacia abajo desde A hasta alcanzar la altura de B para entonces regresar a ver a B y darse cuenta que es inalcanzable – recordemos que sólo la gravedad provoca el movimiento y esta actúa sólo en sentido vertical.

¿Otra estrategia? ¿Qué tal si aplicamos el hecho de que “el camino más cercano entre dos puntos es la línea recta” y hacemos una resbaladera en línea recta desde A hasta B. Si se anima a hacer un experimento se dará cuenta que si bien ahora sí se alcanza el punto B, no hay tanta emoción como en la resbaladera del parque. Esta estrategia es el otro extremo posible y sin embargo, tampoco es la solución que disfrutan los chiquillos.

La solución, que matemáticamente no se obtiene de una manera tan simple como cuando se busca las soluciones de la ecuación a x2 + b x + c = 0, es un segmento de cicloide. En mayo de 1697 fueron publicadas en Acta Eruditorum 4 maneras para alcanzar la solución: la resolución de Leibniz aparece en la página 205, la resolución del retador Johann Bernoulli aparece en las páginas 206-211, la de Jacob Bernoulli (hermano mayor del retador) está entre las páginas 211-214, y la de Newton en la 223. La resolución de de L’Hopital tuvo que esperar hasta 1988 para aparecer como un apéndice de un trabajo de Jeanne Peiffer. 

La mentada solución, coresponde a equilibrar apropiadamente las dos estrategias extremas que mencionamos previamente. Es como si Dios dejara un mensaje no sólo a los “matemáticos más brillantes del mundo” sino a todos los padres: sus hijos los amarán y apreciarán si los llevan por el parque de la vida haciéndolos jugar y practicar los caminos del equilibrio y la moderación, a cada hijo conforme a su propia personalidad

Como ya mencioné, el problema de la braquistócrona dió a luz a una rama excitante de la matemática, el Cálculo de Variaciones. Pero hasta aquí llega la analogía con la resbaladera, porque este parto tuvo que ver con disputas fuertes entre los dos hermanos Bernoulli que, según R. Thiele, tuvieron su génesis mucho tiempo atrás, en buena medida debido a su padre, que no era muy practicante del arte racional llamado moderación. Uno podría conjeturar que debido a estas disputas no se les concedió a los Bernoulli el privilegio de alcanzar la formalización del Cálculo Variacional – método para resolver no sólo el problema de la braquistócrona sino otros de la misma especie. Aquella herramienta se conoce hoy en día como la ecuación de EulerLagrange, en honor a dos matemáticos que lealmente compitieron pero no pelearon sin sentido.

Fuentes:

Weisstein, Eric W. “Brachistochrone Problem.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/BrachistochroneProblem.html

Fotos:

Resbaladera: http://stonek.com/_FOTOGRAFOS/nanan/thumbs/nanan_SV506521.jpg

Otros: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history

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Acerca de Juan Mayorga Zambrano

Juan Mayorga Zambrano, Ph.D. Profesor Investigador Ecuador
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